07.01.2024r

Inercjalny i nieinercjalny układ odniesienia. Siły bezwładności

Spis treści

Układ odniesienia – skąd to się wzięło? (Ł)
Siły rzeczywiste i siły pozorne (bezwładności) (Ł)
Siła dośrodkowa i siła odśrodkowa (Ś)
Siła Coriolisa (Ś)
Czy układ odniesienia może być jednocześnie inercjalny i nieinercjalny? (Ł)
Szybki teścik

Wskazywanie na potrzeby rozwiązywania zadań i problemów mechaniki układów odniesienia, a już w szczególności nazywanie ich „inercjalnymi” lub „nieinercjalnymi” może być przytłaczające. Przyzwyczajeni jesteśmy od najmłodszych lat do potocznego opisywania ruchu, tym bardziej opis naukowy zdaje się nam niepraktyczny. Gdy policjant zatrzymuje nas za zbyt szybką jazdę samochodem, nie dopytujemy go względem jakiego układu odniesienia zmierzył naszą prędkość. Tłumaczymy się jedynie z czego wynika nasz pośpiech wiedząc, że co do złamania przepisu ma po prostu rację.

Układ odniesienia – skąd to się wzięło?

Rys. 1. Mechanika podczas jazdy samochodem [1]. Siła ciągu generowana przez silnik przekłada się na przyspieszenie względem ziemi. Odnosząc się jednak do samochodu przed nami lub pasażera obok, będziemy mieli odpowiednio przyspieszenie ujemne lub zerowe.

Na początek warto sobie uświadomić, że położenie i prędkość nie istnieją same w sobie. Nie można powiedzieć, że ciało porusza się z jakąś prędkością, jeżeli nie dopowiemy względem czego. Nawet jeśli nie powiemy tego na głos, każdy nasz rozmówca jest w stanie dopowiedzieć sobie w myślach, względem czego zmierzono tę wielkość („samochód jedzie 100 km/h (względem jezdni)”, „rakieta oddala się z prędkością 200 m/s (od Ziemi)” itp.). Obiekt, do którego odnosimy prędkość to właśnie układ odniesienia.

Okazuje się, że można przyjmować dla własnych potrzeb różne układy odniesienia. Rozważmy przykład poruszania się samochodem, w których jesteśmy kierowcą – rys. 1. Z jednej strony powiemy, że naciskając pedał gazu w aucie generujemy siłę, która nadaje nam dodatnią prędkość względem ziemi. Jedziemy coraz szybciej. Z drugiej strony możemy porównać się do samochodu przed nami. Jeśli jego kierowca się spieszy, to zostawia nas w tyle, a my możemy stwierdzić, że pomimo naciskania pedału gazu mamy ujemna prędkość względem niego. Co więcej możemy powiedzieć, że pomimo siły ciągu silnika nasza prędkość nieustannie spada! Rozpatrzmy jeszcze jeden układ odniesienia – na chwilę odwracamy wzrok od drogi i innych samochodów i spoglądamy na kolegę siedzącego na fotelu obok. Szybko stwierdzimy, że pomimo dużej siły samochodowego silnika stoimy w miejscu względem partnera.

Pierwsza zasada dynamiki Newtona mówi, że jeśli na ciało nie działa żadna siła, to ciało to pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Druga zasada dynamiki stwierdza, że jeśli działa siła F, to nadaje ona przyspieszenie równe a = F/m. Możemy więc powiedzieć, że te prawa Newtona obowiązują w przypadku, gdy prędkość naszego samochodu odnosimy do powierzchni ziemi, jednak nie obowiązują, gdy porównujemy się z drugim samochodem lub odnosimy siebie do kolegi siedzącego obok! Taki właśnie sens ma wyróżnienie układu inercjalnego:

Układ inercjalny to taki, w którym obowiązują prawa Newtona.

Załóżmy, że zarówno my jak i auto przed nami poruszamy się jednostajnie, czyli ze stałą prędkością względem ziemi, np. 100 km/h. Wtedy gdy my przyspieszymy do prędkości 120 km/h dzięki przyłożeniu siły F, to przyspieszyliśmy o 20 km/h zarówno względem jezdni jak i względem drugiego samochodu! Przyspieszenie a = F/m jest prawdziwe dla obu rozważanych układach odniesienia, dlatego można powiedzieć:

Układem inercjalnym jest każdy układ nie poruszający się, lub poruszający się jednostajnie prostoliniowo względem innego układu inercjalnego.

Wszystkie pozostałe układy odniesienia są nieinercjalne co oznacza, że nie można w nich wprost zastosować zasad dynamiki Newtona. Możemy też powiedzieć, że poruszają się z przyspieszeniem względem dowolnego układu inercjalnego.

Czy to oznaczy, że prawa Newtona nie obowiązują?!
Zauważmy, że siły grawitacji, oporu, elektryczne i wszystkie pozostałe nie zależą od układu odniesienia. Grawitacja między dwoma ciałami jest zawsze taka sama! Mówiąc, że w układzie nieinercjalnym nie obowiązują zasady dynamiki mamy po prostu na myśli, że skutek tych sił w postaci obserwowanego ruchu będzie inny, niż wynikałoby to z zasad Newtona (siła (ciągu silnika) działa, a samochód nie porusza się (względem czegoś) itp.).

Siły rzeczywiste i siły pozorne (bezwładności)

Rys. 2. Z punktu widzenia układu inercjalnego, samochód przyspiesza, gdyż siła ciągu silnika przewyższa siły oporu. Kierowca stwierdzi jednak, że względem własnego pojazdu w ogóle się nie porusza. Jak to możliwe?

Model standardowy wyróżnia cztery główne rodzaje oddziaływań – siły grawitacyjne, elektromagnetyczne, silne i słabe. Siły te nazywamy siłami rzeczywistymi. Potrafimy wskazać ich źródło – dla grawitacji jest to masywne ciało, dla siły elektrostatycznej – konkretny ładunek itd. Poznanie tych sił pozwala w pełni opisać i przewidzieć przemieszczanie się ciała (choć w mechanice kwantowej trudno mówić o klasycznym położeniu i torze ruchu cząstki). W zjawiskach makroskopowych, nierelatywistycznych, ruch ciała wynika z zasad dynamiki Newtona. Rozpatrzmy bardzo prosty przykład przyspieszającego samochodu osobowego.

Silnik samochodu osobowego o masie m = 2 000 kg działa siłą Fs = 9 000 N na podłożę. Siły oporu powietrza i tarcia opon o asfalt wynoszą Fo = 1 000 N. Z jakim przyspieszeniem przemieszcza się samochód (a więc i kierowca)?

Działająca siła wypadkowa wynosi: $${ F_{W} = 9\,000 - 1\,000 = 8\,000 N }$$ Zgodnie z II Zasadą Dynamiki Newtona przyspieszenie samochodu (kierowcy) wynosi:

$${ a = \frac{F_{W} }{ m } = \frac{8\,000 }{ 2\,000 } = 4 \frac{m}{s^{2}} }$$

Kierowca odnosząc się do drogi lub budynków za szybą rzeczywiście obserwuje swoje przyspieszenie. Siła ciągu silnika i oporów powietrza całkowicie wyjaśniają więc ten ruch. Gdy kierowca porówna się jednak do swojego samochodu (nieinercjalny układ odniesienia) to stwierdzi, że w ogóle nie przemieszcza się, a przyspieszenie jest zerowe. Spróbujmy więc wyjaśnić to zjawisko dostosowując niejako równanie Newtona do tej obserwacji. $${ a_{2} = \frac{F_{W2} }{ m } }$$ Obserwujemy, że nasze przyspieszenie wynosi 0:

$${ a_{2} = 0 = \frac{F_{W2} }{ m } }$$

Jak wcześniej policzyliśmy, działa siła silnika i siła oporu, których suma nie wynosi jednak 0. Postulujemy więc dodanie dodatkowego czynnika, siły składowej o symbolu Fb: $${ 0 = \frac{F_{s} – F_{o} + F_{b} }{ m } }$$ Którą można wyznaczyć jako:

$${ F_{b} = - \frac{F_{s} – F_{o} }{ m } \cdot m = - a \cdot m \tag{1} }$$

Ta dodatkowa siła to siła bezwładności. Jest nazywana siłą pozorną, gdyż nie można wskazać jej źródła i nie występuje w układzie inercjalnym. Dla układu nieinercjalnego jest z kolei niezbędna, aby uspójnić opis ruchu z układem inercjalnym. Pozorność nie oznacza jednak, że jest tylko matematyczną zagrywką. Siła bezwładności występuje w opisie dla układu nieinercjalnego, i również dla obserwatora związanego z tym układem jest jak najbardziej odczuwalna. Siedząc za kierownicą samochodu jesteśmy związani z pojazdem, a więc z układem nieinercjalnym. Czujemy, jak jakaś dodatkowa siła wpycha nas w fotel, odczuwamy więc siłę bezwładności. Siły bezwładności występują dla każdego układu nieinercjalnego i umożliwiają opis ruchu w tym układzie z wykorzystaniem praw Newtona. Poza omówioną siłą bezwładności w ruchu postępowym, spotykamy się też z siłą odśrodkową oraz siłą Coriolisa.

Siła dośrodkowa i siła odśrodkowa

Rys. 3. Zmiana kierunku ruchu ciężarka wynika z działania przyspieszenia dośrodkowego, a więc prostopadłego do chwilowego wektora prędkości.

Rozważmy ruch ciała po okręgu ze stałą prędkością. Może to być Księżyc krążący wokół Ziemi lub wirujący ciężarek zawieszony na lince – rys. 3. Czy w takim przypadku przyspieszenie wynosi 0?

Co prawda wartość prędkości się nie zmienia, lecz zmienia się jej kierunek. Zmianę kierunku wymusza więc pewne przyspieszenie. Zgodnie z rysunkiem prędkość ciężarka zmieniła się o Δv. Zauważmy, że trójkąt utworzony przez prędkości vA, vB i Δv jest podobny do trójkąta ABO. Zatem możemy zapisać: $${ \frac{\Delta v }{ v_{A}} = \frac{l }{ r } }$$ Jeśli rozpatrzymy punkty A i B położone blisko siebie (dążymy do podzielenia ruchu na nieskończenie małe fragmenty), to długość boku l stanie się długością łuku AB, a więc pokonaną przez ciężarek w czasie Δt drogą: $${ l = v_{A} \cdot \Delta t }$$ Zmiana prędkości Δv wynosi więc:

$${ \Delta v = v_{A} \cdot \frac{l}{r} = {v_{A}}^{2} \cdot \frac{ \Delta t }{ r} }$$

Teraz możemy skorzystać z ogólnego wzoru na przyspieszenie: $${ a = \frac{\Delta v }{ \Delta t} }$$

$${ a = \frac{{v_{A}}^2 \Delta t }{ r \Delta t} = \frac{{v_{A}}^2 }{ r} }$$

Właśnie to przyspieszenie jest odpowiedzialne za zakrzywianie toru ruchu ciężarka (czy też Księżyca). Działa w takim samym kierunku jak zaobserwowana zmiana prędkości Δv, a więc do osi obrotu. Zgodnie z II Zasadą Dynamiki Newtona z przyspieszeniem zawsze związana jest siła. Wynosi ona: $${ F = ma = \frac{mv^{2} }{ r} \tag{2} }$$ Jest to siła dośrodkowa. Jest ona siłą rzeczywistą i zawsze możemy wskazać konkretne jej źródło. W przypadku Księżyca siłą dośrodkową jest siła grawitacji – GMm/r^2. W przypadku ciężarka – siłą ciągu sznurka. W przypadku elektronu krążącego na orbicie jądra atomowego – siła elektrostatyczna.

Powyższy opis ruchu wykonaliśmy z perspektywy układu inercjalnego. Obserwowaliśmy ruch „z boku”. Teraz wyobraźmy sobie, że jesteśmy muchą, która usiadła na obracającym się ciężarku – rys. 4.

Rys. 4. a) W inercjalnym układzie odniesienia identyfikujemy jedynie siłę dośrodkową ciągu linki Fc. To ona odpowiada za przyspieszenie dośrodkowe oraz zakrzywianie toru ruchu., b) Siadająca na ciężarku mucha wiąże się z nieinercjalnym układem odniesienia. Odczuwa więc pozorną siłę odśrodkową. Rolę siły dośrodkowej dla owada będzie pełnić siła reakcji podłoża (ciężarka).

Naszą decyzją związaliśmy się z wirującym układem nieinercjalnym, a więc wiemy, że musimy odczuwać siłę bezwładności. Odnosząc się do ciężarka mucha może stwierdzić, że nie porusza się, a więc przyspieszenie wynosi 0. W takim razie możemy zapisać: $${ a = 0 = \frac{F_{W} }{ m } }$$ $${ 0 = \frac{\frac{mv^{2} }{ r } + F_{b} }{ m } }$$ $${ Fb = -\frac{mv^{2} }{ r } \tag{3} }$$ Fb jest równa co do wartości sile dośrodkowej, lecz ma przeciwny zwrot (znak "-" we wzorze). Jest to pozorna siła odśrodkowa.

Siła Coriolisa

Rys. 5. Siły pozorne w układzie nieinercjalnym. Ciało zielone nie porusza się względem ziemi, więc działa na nie jedynie siła odśrodkowa. Ciało żółte przemieszcza się z przyspieszeniem a, więc działa na nie siła bezwładności Fb-p=-am, jednak porusza się wzdłuż równika, więc nie działa na nie siła Coriolisa (stała odległość od osi obrotu). Ciało czerwone przemieszcza się przecinając równoleżniki, zmienia odległość od osi obrotu Ziemi, a więc działa na nie siła Coriolisa.

Ostatnią omówioną pozorną siłą będzie siła Coriolisa. Obok Siły bezwładności w ruchu postępowym oraz siły odśrodkowej związanej w ruchem po okręgu, w stałej odległości od osi obrotu, występuje jeszcze siła związana z poruszaniem się do lub od osi obrotu. W ten sposób otrzymujemy całościowy obraz rzeczywistości układów nieinercjalnych – rys. 5.

Siły bezwładności w ruchu postępowym oraz siły odśrodkowej realnie doświadczamy, przez co łatwo jest nam sobie je wyobrazić i przyswoić. Niestety, siła Coriolisa jest trudniejsza do uchwycenia pomimo tego, że również jej skutki są ważne dla życia na ziemi. Wyprowadzimy wzór na tę pozorną siłę na przykładzie piłki poruszającej się na obracającej się tarczy – rys. 6.

Rys. 6. Piłka poruszająca się po obracającej się tarczy [2].Górne grafiki przedstawiają obserwację ruchu z inercjalnego układu odniesienia, dolne – z nieinercjalnego. Obrazki pochodzą z wikipedii i tam też można obejrzeć animację.

Piłka toczy się z prędkością vp od środka tarczy do jej brzegu. Patrząc na tę sytuację z zewnątrz (inercjalny układ odniesienia) zaobserwujemy, że tor piłki jest linią prostą. Jest to zgodne z teorią, gdyż nie identyfikujemy żadnej siły, która miałaby to zmienić. Odległość w przestrzeni jaką pokonała piłka (łatwiej to „przetrawić”, wyobrażając sobie, że obracająca się tarcza to tylko nic nie znaczące tło!) jest równa promieniowi tarczy R, natomiast czas ruchu piłki: $${ t = \frac{R }{ v_{p} } }$$ Wyobraźmy sobie, że w punkcie O1 w chwili początkowej ruchu piłki usiadła mucha. Obserwując sytuację z zewnątrz zauważymy, że w trakcie czasu t przemieści się ona do punktu O2. Patrząc jednak oczami muchy (układ nieinercjalny) stwierdzimy, że nie poruszamy się w ogóle (stoimy nieruchomo na tarczy), natomiast ruch piłki odbywa się po torze zakrzywionym! Rozważmy, jaka dodatkowa prędkość jest nadawana piłce w tym układzie, a także policzmy z jakiego przyspieszenia i pozornej siły ona wynika.

Jak wspomnieliśmy wcześniej, piłka ma prędkość wzdłuż promienia tarczy równą vp. Punkt na tarczy, w którym leży piłka w danym momencie też się jednak przemieszcza (wiruje). Ruch jest względny, możemy więc powiedzieć, że piłka ma dodatkową prędkość względem punktu styczności z tarczą – vo. Jej wartość wynika wprost z częstości kątowej obrotu: $${ v_{o} = \omega r }$$ Gdzie r to chwilowa odległość piłki od osi obrotu. Zauważmy, że ta odległość to nic innego jak droga pokonywana przez prędkość vp: $${ v_{o} = \omega r = \omega v_{p} t }$$ Przemieszczenie piłki w kierunku prostopadłym do promienia moglibyśmy policzyć jako: $${ x = v_{o} t = \omega v_{p} t^{2} }$$ Zauważmy, że ruch ten jest ruchem jednostajnie przyspieszonym od prędkości = 0. Możemy więc zastosować znany z lekcji fizyki gotowy wzór na przemieszczenie w takim ruchu i obliczyć za jego pomocą przyspieszenie a: $${ x = \frac{1}{2} a t^{2} }$$ $${ \omega v_{p} t^{2} = \frac{1}{2} a t^{2} }$$ $${ a = 2 \omega v_{p} }$$ Osoby zaznajomione z podstawami analizy matematycznej, mogą ten sam wynik otrzymamy stosując bardziej ogólną, uniwersalną metodę. Wiemy, że przyspieszenie to druga pochodna przemieszczenia po czasie:

$${ a = \frac{d^{2} x }{ dt^{2} } = \frac{ d(d(\omega v_{p} t^{2})) }{ d(dt) } = \frac{ d( 2 \omega v_{p} t) }{ dt } = 2 \omega v_{p} }$$

Na koniec możemy stwierdzić, że zgodnie z II Zasadą Dynamiki Newtona z przyspieszeniem tym związana jest siła: $${ F = am = 2m \omega v_{p} }$$ Otrzymaliśmy wzór na siłę Coriolisa, którą możemy zaobserwować obok siły bezwładności w ruchu postępowym i siły odśrodkowej. Zazwyczaj podaje się ją w bardziej ogólnej postaci wektorowej: $${ \vec{F} = 2m\, \vec{v} \times \vec{\omega} \tag{4}}$$ Widzimy w nim iloczyn wektorowy prędkości v oraz prędkości kątowej ω. Zapis ten jest bardzo ważny – pokazuje, że nie każdy kierunek przemieszczanie się ciała w układzie wirującym powoduje pojawienie się siły Coriolisa! Mówiąc precyzyjniej, ciało musi się zbliżać lub oddalać od osi obrotu. Z tego powodu np. przemieszczanie się ciała po równiku Ziemi nie powoduje powstanie tej siły, ale już jazda na północ lub południe tak, gdyż zbliżamy się lub oddalamy od osi obrotu Ziemi. Kierunek zaś działania siły również wynika z iloczynu wektorowego – możemy go ustalić stosując metodę lewej dłoni – rys. 7a. Kierunek działania siły Coriolisa na ciała przemieszczające się na naszej planecie pokazane zostały dodatkowo na rys. 7b.

Rys. 4. a) Metoda lewej dłoni umożliwia wyznaczenie kierunku działania siły Coriolisa, podobnie jak to ma miejsce dla każdego innego iloczynu wektorowego[1], b) Kierunek działania siły Coriolisa w różnych punktach na powierzchni ziemi..

Czy układ odniesienia może być jednocześnie inercjalny i nieinercjalny?

W naszym życiu codziennym powierzchnia ziemi stanowi układ inercjalny. Można powiedzieć, że względem poruszającego się samochodu czy zawieszonego na suficie wahadła ziemia jest nieruchoma. Jeżeli jednak spojrzymy na naszą planetę z przestrzeni kosmicznej, np. lecąc rakietą na Marsa, to szybko stwierdzimy, że nie jest ona dobrym, stałym punkt odniesienia. Zauważymy, że nie dość, że Ziemia obraca się wokół własnej osi, to jeszcze porusza się po elipsie wokół Słońca. Nasza rakieta nie będzie się poruszała ruchem jednostajnym prostoliniowym względem Błękitnej planety, nawet jeśli wyłączymy silniki. Jako inercjalny układ odniesienia wygodnie będzie przyjąć wtedy Słońce.

Z drugiej strony rakieta po wyłączeniu silników stanie się dobrym inercjalnym układem odniesienia dla satelity geostacjonarnej lub Księżyca. Z perspektywy kosmonauty na tę satelitę działa siła grawitacji Ziemi, która powoduje jej ciągłe „spadanie”, czyli krążenie po orbicie. Pracownik znajdujący się na satelicie powie jednak, że nie przemieszcza się względem swojej kosmicznej kajuty – będzie on odczuwał dodatkową siłę, siłę odśrodkową, równoważącą grawitację Ziemi.

Te przykłady skłaniają do zadania pytania, czy istnieje uniwersalny układ odniesienia, który pozostaje zawsze inercjalny? Pytanie to jest bardziej skomplikowane niż mogłoby się wydawać. Przestrzeń kosmiczna sama w sobie nieustannie „puchnie”, a wszystkie obiekty kosmiczne odsuwają się od siebie. Jak na razie ludzie nie zdołali jednak znacząco oddalić się od powierzchni własnej planety, a pokonywane odległości są niewielkie w porównaniu do całego Wszechświata. Wskazanie więc lokalnie stałego punktu odniesienia (w skali kosmicznej) jest wystarczające i całkiem łatwe 😊

Szybki teścik

Bibliografia

Wykorzystano grafiki z serwisu Pexels, https://www.pexels.com, dostęp: 07.01.2024
Efekt Coriolisa, https://pl.wikipedia.org/wiki/Efekt_Coriolisa, dostęp: 07.01.2024